Trigonometria no Triângulo Retângulo - Toda Matéria
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Matemática
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Geometria
Trigonometria no Triângulo Retângulo
Rosimar Gouveia
Professora de Matemática e Física
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A
trigonometria no triângulo retângulo
é o estudo sobre os triângulos que possuem um ângulo interno de 90°, chamado de ângulo reto.
Lembre-se que a trigonometria é a ciência responsável pelas relações estabelecidas entre os triângulos. Eles são figuras geométricas planas compostas de três lados e três ângulos internos.
O triângulo chamado equilátero possui os lados com medidas iguais. O isósceles possui dois lados com medidas iguais. Já o escaleno tem os três lados com medidas diferentes.
No tocante aos ângulos dos triângulos, os ângulos internos maiores que 90° são chamados de obtusângulos. Já os ângulos internos menores que 90° são denominados de acutângulos.
Além disso, a soma dos ângulos internos de um triângulo será sempre 180°.
Composição do Triângulo Retângulo
O triângulo retângulo é formado:
Catetos
: são os lados do triângulo que formam o ângulo reto. São classificados em: cateto adjacente e cateto oposto.
Hipotenusa
: é o lado oposto ao ângulo reto, sendo considerado o maior lado do triângulo retângulo.
Segundo o
Teorema de Pitágoras
, a soma dos quadrado dos catetos de um triângulo retângulo é igual ao quadrado de sua hipotenusa:
h
2
= ca
2
+ co
2
Leia também
:
Trigonometria
Ângulos
Triângulo Retângulo
Classificação dos Triângulos
Ainda com dúvidas? Pergunta ao
Ajudante IA
do Toda Matéria
Relações Trigonométricas do Triângulo Retângulo
As razões trigonométricas são as relações existentes entre os lados de um triângulo retângulo. As principais são o seno, o cosseno e a tangente.
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Lê-se cateto oposto sobre a hipotenusa.
Lê-se cateto adjacente sobre a hipotenusa.
Lê-se cateto oposto sobre o cateto adjacente.
Círculo trigonométrico e as razões trigonométricas
O círculo trigonométrico é utilizado para auxiliar nas relações trigonométricas. Acima, podemos encontrar as principais razões, sendo que o eixo vertical corresponde ao seno e o eixo horizontal ao cosseno. Além delas, temos as razões inversas: secante, cossecante e cotangente.
Lê-se um sobre o cosseno.
Lê-se um sobre o seno.
Lê-se cosseno sobre o seno.
Leia também
:
Seno, Cosseno e Tangente
Círculo Trigonométrico
Funções Trigonométricas
Razões Trigonométricas
Relações Métricas no Triângulo Retângulo
Identidades trigonométricas
Exercícios sobre razões trigonométricas
Ângulos Notáveis
Os chamados
ângulos
notáveis
são aqueles que aparecem com mais frequência, a saber:
Relações Trigonométricas
30°
45°
60°
Seno
1/2
√2/2
√3/2
Cosseno
√3/2
√2/2
1/2
Tangente
√3/3
1
√3
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Saiba mais
:
Exercícios de Trigonometria no triângulo retângulo
Exercícios de Trigonometria
Lei dos Senos
Lei dos Cossenos
Relações Trigonométricas
Tabela Trigonométrica
Exercícios sobre funções trigonométricas com respostas
Exercício Resolvido
Num triângulo retângulo a hipotenusa mede 8 cm e um dos ângulos internos possui 30°. Qual o valor dos catetos oposto (x) e adjacente (y) desse triângulo?
De acordo com as relações trigonométricas, o seno é representado pela seguinte relação:
Sen = cateto oposto/hipotenusa
Sen 30° = x/8
½ = x/8
2x = 8
x = 8/2
x = 4
Logo, o
cateto oposto
desse triângulo retângulo mede
4 cm
.
A partir disso, se o quadrado da hipotenusa é a soma dos quadrados de seus catetos, temos:
Hipotenusa
2
= Cateto oposto
2
+ Cateto adjacente
2
8
2
= 4
2
+y
2
8
2
- 4
2
= y
2
64 - 16 = y
2
y
2
= 48
y = √48
Logo, o
cateto adjacente
desse triângulo retângulo mede
√48
cm
.
Assim, podemos concluir que os lados desse triângulo medem 8 cm, 4 cm e √48 cm. Já seus ângulos internos são de 30° (acutângulo), 90° (reto) e 60° (acutângulo), visto que a soma dos ângulos internos dos triângulos sempre será 180°.
Veja também:
Como calcular a medida da hipotenusa
Exercícios sobre ângulos notáveis (com respostas explicadas)
Exercícios de Vestibular
1
. (Vunesp) O cosseno do menor ângulo interno de um triângulo retângulo é √3/2. Se a medida da hipotenusa desse triângulo é 4 unidades, então é verdade que um dos catetos desse triângulo mede, na mesma unidade,
a) 1
b) √3
c) 2
d) 3
e) √3/3
Ver Resposta
Alternativa c) 2
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2
. (FGV) Na figura a seguir, o segmento BD é perpendicular ao segmento AC.
Se AB = 100m, um valor aproximado para o segmento DC é:
a) 76m.
b) 62m.
c) 68m.
d) 82m.
e) 90m.
Ver Resposta
Alternativa d) 82m.
3
. (FGV) A plateia de um teatro, vista de cima para baixo, ocupa o retângulo ABCD da figura a seguir, e o palco é adjacente ao lado BC. As medidas do retângulo são AB = 15m e BC = 20m.
Um fotógrafo que ficará no canto A da plateia deseja fotografar o palco inteiro e, para isso, deve conhecer o ângulo da figura para escolher a lente de abertura adequada.
O cosseno do ângulo da figura acima é:
a) 0,5
b) 0,6
c) 0,75
d) 0,8
e) 1,33
Ver Resposta
Alternativa b) 0,6
4
. (Unoesc) Um homem de 1,80 m encontra-se a 2,5 m de distância de uma árvore, conforme ilustração a seguir. Sabendo-se que o ângulo α é de 42°, determine a altura dessa árvore.
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Use:
Seno 42° = 0,669
Cosseno 42° = 0,743
Tangente de 42° = 0,90
a) 2,50 m.
b) 3,47 m.
c) 3,65 m.
d) 4,05 m.
Ver Resposta
Alternativa d) 4,05 m.
5
. (Enem-2013) As torres
Puerta de Europa
são duas torres inclinadas uma contra a outra, construídas numa avenida de Madri, na Espanha. A inclinação das torres é de 15° com a vertical e elas têm, cada uma, uma altura de 114 m (a altura é indicada na figura como o segmento AB). Estas torres são um bom exemplo de um prisma oblíquo de base quadrada e uma delas pode ser observada na imagem.
Disponível em:
www.flickr.com
. Acesso em: 27 mar. 2012.
Utilizando 0,26 como valor aproximado para a tangente de 15° e duas casas decimais nas operações, descobre-se que a área da base desse prédio ocupa na avenida um espaço:
a) menor que 100m
2
.
b) entre 100 m
2
e 300 m
2
.
c) entre 300 m
2
e 500 m
2
.
d) entre 500 m
2
e 700 m
2
.
e) maior que 700 m
2
.
Ver Resposta
Alternativa e) maior que 700 m
2
.
Veja também:
Fórmulas de Matemática
Rosimar Gouveia
Bacharel em Meteorologia pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) em 1992, Licenciada em Matemática pela Universidade Federal Fluminense (UFF) em 2006 e Pós-Graduada em Ensino de Física pela Universidade Cruzeiro do Sul em 2011.
Como citar?
GOUVEIA, Rosimar
.
Trigonometria no Triângulo Retângulo.
Toda Matéria
,
[s.d.]
.  Disponível em: https://www.todamateria.com.br/trigonometria-no-triangulo-retangulo/. Acesso em:
Veja também
Relações Métricas no Triângulo Retângulo
Exercícios de trigonometria no triângulo retângulo (com questões explicadas)
Trigonometria
Seno, Cosseno e Tangente
Exercícios de Trigonometria (com questões respondidas)
Razões Trigonométricas
Triângulo Retângulo
Teorema de Pitágoras
Leitura Recomendada
Seno, Cosseno e Tangente
Prisma - Figura Geométrica
Área do Triângulo
Geometria espacial: quais são as figuras e suas fórmulas
Teorema de Pitágoras
Área e Perímetro: fórmulas, exemplos e exercícios
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