Exercícios sobre Volume da Pirâmide resolvidos - Toda Matéria
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Exercícios de Matemática
Exercícios sobre Volume da Pirâmide resolvidos
Rafael C. Asth
Professor de Matemática e Física
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O
volume da pirâmide
corresponde a capacidade total deste sólido geométrico.
A pirâmide é um sólido geométrico de base poligonal e seu volume está relacionado com sua base e altura.
Fórmula do volume da pirâmide
Onde,
V
: volume da pirâmide
A
b
: Área da base
h
: altura
Ainda com dúvidas? Pergunta ao
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do Toda Matéria
Questão 1
Determine o volume de uma pirâmide regular hexagonal de altura 30 cm e aresta de base de 20 cm.
Ver Resposta
Resolução
:
Primeiramente, temos de encontrar a área da base dessa pirâmide. Nesse exemplo, ela é um hexágono regular de lado l = 20 cm. Logo,
A
b
= 6 . l
2
√3/4
A
b
= 6 . 20
2
√3/4
A
b
=
600√3 cm
2
Feito isso, podemos substituir o valor da área da base na fórmula do volume:
V = 1/3 A
b
.h
V = 1/3 . 600√3 . 30
V =
6000√3 cm
3
Questão 2
Qual o volume de uma pirâmide regular com 9 m de altura e base quadrada com perímetro de 8 m?
Ver Resposta
Resolução
:
Para resolver esse problema, temos que estar atento ao conceito de perímetro. Ele é a soma de todos os lados de uma figura. Já que se trata de um quadrado, temos que cada lado tem medida de 2 m.
Assim, podemos encontrar a área da base:
A
b
= 2
2
=
4 m
Feito isso, vamos substituir o valor na fórmula do volume da pirâmide:
V = 1/3 A
b
.h
V = 1/3 4 . 9
V = 1/3 . 36
V = 36/3
V =
12 m
3
Questão 3
(Vunesp) O prefeito de uma cidade pretende colocar em frente à prefeitura um mastro com uma bandeira, que será apoiado sobre uma pirâmide de base quadrada feita de concreto maciço, como mostra a figura.
Sabendo-se que a aresta da base da pirâmide terá 3 m e que a altura da pirâmide será de 4 m, o volume de concreto (em m
3
) necessário para a construção da pirâmide será:
a) 36
b) 27
c) 18
d) 12
e) 4
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Ver Resposta
Resposta correta: d)12
Resolução
Dados:
Aresta da base = 3 m
Base quadrada
Altura = 4 m
O volume da pirâmide é a área da base vezes a altura, dividido por 3.
Área da base
Ab = L x L
Ab = 3 x 3 = 9 m²
Aplicando os valores na fórmula do volume:
Desta forma, o volume da pirâmide é de 12 m³.
Questão 4
(Unifor-CE) Uma pirâmide regular tem 6√3 cm de altura e a aresta da base mede 8 cm. Se os ângulos internos da base e de todas as faces laterais dessa pirâmide somam 1800°, o seu volume, em centímetros cúbicos, é:
a) 576
b) 576√3
c) 1728
d) 1728√3
e) 3456
Ver Resposta
Resposta correta: a) 576
Resolução
Dados:
Aresta da base = 8 cm
Altura = 6√3 cm
Forma do polígono da base, ainda desconhecida.
Soma dos ângulos internos da base e dos lados = 1800°
Objetivo
Determinar o volume da pirâmide
Fórmula do volume da pirâmide
V = Ab . h / 3
Passo 1: descobrir o formato da base e calcular sua área
Como a pirâmide é regular, se trata de um polígono regular na base. Vamos chamar de n o número de lados deste polígono.
A soma dos ângulos internos de um polígono regular é:
Todos os lados de qualquer pirâmide são triângulos e, a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é sempre 180°. A pirâmide tem tantos lados quanto o número de lados na base, sendo assim, a soma dos ângulos das laterais é:
A soma de todos os ângulos da pirâmide é:
Do enunciado, temos que a soma total é 1800°. Substituindo na fórmula e resolvendo para n, temos:
A base é um hexágono e sua área á calculado como:
Substituindo o valor de L fornecido no enunciado:
A área da base vale, portanto,
.
Passo 2: calcular o volume da pirâmide
Usando a fórmula do volume da pirâmide, temos:
Com isso, o volume da pirâmide é de 576 cm³.
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Questão 5
(Unirio-RJ) As arestas laterais de uma pirâmide reta medem 15 cm, e a sua base é um quadrado cujos lados medem 18 cm. A altura dessa pirâmide, em cm, é igual a:
a) 2√7
b) 3√7
c) 4√7
d) 5√7
Ver Resposta
Resposta correta: b) 3√ 7
Resolução
Dados:
Aresta lateral = 15 cm
Aresta da base = 18 cm
Base na forma de um quadrado
Objetivo
Determinar a altura da pirâmide.
Passo 1: identificar um triângulo retângulo que contenha a altura
Onde,
h é a altura
d/2 é a metade da diagonal
Passo 2: determinar a diagonal
Aplicando o Teorema de Pitágoras na base onde d é a diagonal e L o lado.
Passo 3: determinando a altura h
Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo destacado onde d/2 é a metade da diagonal e a hipotenusa 15 cm,
Fatorando o 63,
Desta forma, a altura da pirâmide é de
cm.
Questão 6
(Enem ) Uma fábrica produz velas de parafina em forma de pirâmide quadrangular regular com 19 cm de altura e 6 cm de aresta da base. Essas velas são formadas por 4 blocos de mesma altura — 3 troncos de pirâmide de bases paralelas e 1 pirâmide na parte superior —, espaçados de 1 cm entre eles, sendo que a base superior de cada bloco é igual à base inferior do bloco sobreposto, com uma haste de ferro passando pelo centro de cada bloco, unindo-os, conforme a figura.
Se o dono da fábrica resolver diversificar o modelo, retirando a pirâmide da parte superior, que tem 1,5 cm de aresta na base, mas mantendo o mesmo molde, quanto ele passará a gastar com parafina para fabricar uma vela?
Ver Resposta
Resposta correta:
.
Resolução
Dados
Pirâmide de base quadrangular
19 cm de altura
6 cm de aresta da base
1 cm de distância entre os blocos
Blocos com mesma altura
Pirâmide superior
1,5 cm de aresta da base
Objetivo
Calcular o volume dos troncos de pirâmide, sem considerar a pirâmide superior.
Estratégia
volume dos troncos = volume total - volume da pirâmide de cima
Passo 1: calcular o volume total
Área da base da pirâmide maior
Ab = L . L = 6 . 6 = 36
Altura
Deve-se descontar 3 cm da altura total de 19 cm pois, há um espaço de 1 cm entre os segmentos.
h = 19 - 3 = 16 cm
Volume da pirâmide maior
Passo 2: calcular o volume da pirâmide de cima
Área da base da pirâmide de cima
Ab = 1,5 . 1,5 = 2,25
Altura da pirâmide de cima
Calculamos que a altura do corpo da vela, sem considerar os espaços vazios entre os blocos é de 16 cm.
Os blocos possuem mesma altura, sendo assim, a altura do bloco menor é:
hm = 16 / 4 = 4 cm
Volume da pirâmide menor
Passo 3: calcular volume dos troncos
volume dos troncos = volume total - volume da pirâmide de cima
volume dos troncos = 192 - 3 = 189 cm³
Conclusão
O dono da fábrica passará a gastar 189 cm³ com parafina para fabricar uma vela.
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Questão 7
(PUC - RJ 2016) Numa pirâmide de base quadrada, todas as arestas medem x. Quanto vale o volume da pirâmide?
a) √2/6 x³
b) π x²
c) x³ + x² + x + 1
d) x³
e) √6/3 x³
Ver Resposta
Resposta correta: a) √2/6 x³
Resolução
Dados
Medida das arestas = x
Medida da altura: desconhecida
Objetivo
Calcular o volume da pirâmide em função de x.
Fórmula do volume da pirâmide
Passo 1: determinar a altura h
Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo, temos:
Onde d é a diagonal do quadrado da base.
Diagonal da base
Aplicando o Teorema de Pitágoras na base, temos:
Substituindo d² na equação 1:
Passo 2: área da base
Passo 3: volume da pirâmide em função de x
Como há uma raiz no denominador, devemos racionalizar a fração. Fazemos isto multiplicando o denominador e o numerador por
.
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Questão 8
(EEAR 2021) Considere uma pirâmide quadrangular regular de 75 cm³ de volume. Se 5 cm é a medida da aresta da base dessa pirâmide, então sua altura mede ____ cm.
a) 9
b) 6
c) 5
d) 3
Ver Resposta
Resposta correta: 9
Resolução
Dados
Base quadrangular
Volume = 75 cm³
Aresta da base = 5 cm
Objetivo
Determinar a altura h
Área da base
Ab = 5 . 5 = 25
Fórmula do volume da pirâmide
Isolando h
A altura da pirâmide é de 9 cm.
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da pirâmide
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Rafael C. Asth
Professor de Matemática licenciado, pós-graduado em Ensino da Matemática e da Física e Estatística. Atua como professor desde 2006 e cria conteúdos educacionais online desde 2021.
Como citar?
ASTH, Rafael
.
Exercícios sobre Volume da Pirâmide resolvidos.
Toda Matéria
,
[s.d.]
.  Disponível em: https://www.todamateria.com.br/volume-da-piramide/. Acesso em:
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