Arranjo na matemática: o que é, como calcular, exemplos - Toda Matéria
https://www.todamateria.com.br/arranjo/

🚀
Ferramentas de estudo por menos de R$1/dia
Quer mais? Acesso ilimitado por R$ 29,90/mês
ASSINAR TM +
Busque um tema
MENU
ENEM 2025
NOVO
Página Inicial ENEM
Plano de Estudos
Matérias do ENEM
Corretor de Redação
Exercícios ENEM
Simulados ENEM
Tira Dúvidas
Simulador SiSU
NOVO
Língua Portuguesa
Matemática
História
Inglês
Geografia
Mais Matérias
Biologia
Química
Física
Filosofia
Literatura
Sociologia
Educação Física
Todas as Matérias
Exercícios
ENEM
Matemática
Português
História
Biologia
Geografia
Física
Química
Todos os Exercícios
Ferramentas
Ajudante de Dever de Casa
Corretor de Redação
Exercícios
Gerador Referências Bibliográficas ABNT
ENEM 2025
NOVO
Página Inicial ENEM
Plano de Estudos
Matérias do ENEM
Corretor de Redação
Exercícios ENEM
Simulados ENEM
Tira Dúvidas
Simulador SiSU
NOVO
Nossas Matérias
Língua Portuguesa
Matemática
História
Inglês
Geografia
Biologia
Química
Física
Filosofia
Literatura
Sociologia
Educação Física
Todas as Matérias
Exercícios
ENEM
Matemática
Português
História
Biologia
Geografia
Física
Química
Todos os Exercícios
Ferramentas
Ajudante de Dever de Casa
Corretor de Redação
Exercícios
Gerador Referências Bibliográficas ABNT
Toda Matéria
Matemática
›
Análise Combinatória e Probabilidade
Arranjo na matemática: o que é, como calcular, exemplos
Rafael C. Asth
Professor de Matemática e Física
Remover anúncios
Os arranjos são sequências ordenadas de elementos que pertencem a um conjunto finito. Cada sequência possível é um arranjo, seja com todos os elementos do conjunto ou parte destes.
Para definir o que é arranjo, consideremos um conjunto X de n elementos e um número p menor ou igual a n, (
). Assim:
Arranjos são as sequências ordenadas com p elementos que pertencem a um conjunto X de n elementos. Portanto, cada ordem com que os elementos estão dispostos, representam arranjos diferentes.
Por exemplo, uma sequência ordenada com os elementos A, B e C, é um arranjo diferente de C, B e A. São considerados
p
com 1 elemento, 2 elementos, 3 elementos, … até o número
n
de elementos do próprio conjunto.
Na matemática, os arranjos pertencem a uma área de estudo chamada análise combinatória, que se propõe a solucionar problemas de contagem de agrupamentos, formados por elementos de conjuntos finitos.
Existem diversos problemas e situações que envolvem contagem, assim como diversas técnicas para os solucionar, das quais uma, é o arranjo.
Sua utilidade em geral é determinar a quantidade de ordenações possíveis de serem formadas. Os arranjos podem ser de vários tipos: simples, com repetição e condicional.
Arranjos simples
Os arranjos simples são aqueles sem elementos repetidos no seu conjunto. Para calcular o número de arranjos formados por
p
elementos de um conjunto finito de
n
elementos distintos, utilizamos a seguinte fórmula:
Onde,
An,p
é o número de arranjos em um conjunto com n elementos tomados p a p;
n
é o número total de elementos no conjunto;
p
é o número de elementos ordenados.
Para entender a fórmula, é preciso conhecer este sinal que é um ponto de exclamação (!), chamado fatorial.
Remover anúncios
Fatorial
O fatorial de um número é uma operação matemática realizada por multiplicações sucessivas de valores inteiros decrescentes, que começam no próprio número, e terminam no 1.
Exemplos de fatorial
4! = 4 x 3 x 2 x 1= 24
5! = 5 x 4 x 3 x 2 x1 = 120
0! = 1 (Por definição, fatorial de zero é 1)
Com o domínio da fórmula, vejamos alguns exemplos de arranjos simples.
Exemplo 1
De quantas maneiras diferentes 4 pessoas podem organizar uma fila?
Utilizando a fórmula:
Perceba que o problema pode ser solucionado sem fórmula, como uma permutação, utilizando o princípio fundamental da contagem.
4 possibilidades para a primeira posição;
3 possibilidades para a segunda posição;
2 possibilidades para a terceira posição;
1 possibilidade para a quarta posição;
4 x 3 x 2 x 1 = 24 ordenações
Exemplo 2
Quantos números com 3 algarismos diferentes podemos formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9?
Utilizando a fórmula:
Arranjo de 9 elementos tomados 3 a 3.
Remover anúncios
Este problema pode ser solucionado utilizando o princípio fundamental da contagem.
9 opções para o primeiro dígito;
8 opções para o segundo dígito;
7 opções para o terceiro dígito.
9 . 8 . 7 = 504
Até aqui, calculamos a quantidade de agrupamentos de elementos de um conjunto com elementos distintos. No entanto, há diversas situações com elementos iguais, ou seja, que se repetem.
Arranjo com repetição
Nos arranjos com repetição, determinamos a quantidade de agrupamentos possíveis considerando que elementos se repetem.
Para realizar o cálculo, utilizamos a seguinte fórmula:
Onde:
An,k
é a quantidade de arranjos com repetição;
n é o número total de elementos;
k é o número de elementos que consideramos
Esta situação é muito comum, veja alguns exemplos:
Exemplo 1
Um cadeado de segredo onde é preciso determinar uma senha com 4 dígitos que podem ser algarismos de 0 a 9 permite quantos agrupamentos?
Utilizando a fórmula:
Perceba que este problema pode ser resolvido utilizando o princípio fundamental da contagem.
10 . 10 . 10 . 10 = 10 000
Exemplo 2
Para participar de uma rede social, um usuário deveria cadastrar uma senha com 4 letras e 5 algarismos, onde é possível que as letras e os números se repitam. Quantas senhas diferentes podem ser formadas?
Remover anúncios
Como há elementos de natureza diferente (letras e números), calculamos a quantidade de arranjos com repetição para cada e, após, multiplicamos os resultados.
Quantidade de arranjos com repetição formados por 4 letras escolhidas em um alfabeto com 26 letras.
Quantidade de arranjos com repetição formados por 5 algarismos escolhidos entre 10.
Multiplicando os valores, temos:
456 976 . 100 000 = 45 697 600 000
Diferenças entre arranjo, combinação e permutação
Além do arranjo, a análise combinatória também utiliza outros dois mecanismos para a contagem: a combinação e a permutação.
Os problemas que envolvem a contagem de agrupamentos possuem características diferentes que devem ser consideradas ao realizarmos os cálculos. É importante diferenciar estas características e escolher a técnica correta, ou mais eficiente, para aplicar.
O arranjo e a permutação estão bem próximos e, quase sempre, as duas técnicas podem ser utilizadas. Ambas possuem uma característica: a ordem dos elementos na sequência importa, ou seja, produzem agrupamentos diferentes.
Em geral, se tomamos todos os elementos do conjunto, dizemos realizar uma permutação. Em um conjunto com n elementos, uma permutação é calculada como:
Exemplo de permutação com n elementos
.
De quantas maneiras diferentes 8 elementos podem ser dispostos?
Está é uma permutação com n = 8.
Remover anúncios
Veja que este cálculo também pode ser realizado pela fórmula do arranjo simples, visto que os elementos não se repetem.
A diferença entre o arranjo ou permutação em relação à combinação é a ordenação dos elementos. Na combinação, a ordenação dos elementos não é relevante, não produz resultados diferentes.
Uma combinação acontece quando selecionamos elementos de um conjunto formando um conjunto menor ou igual. Neste subconjunto, ordenações diferentes não produzem combinações diferentes. Por exemplo, em uma combinação, um subconjunto {A, B} é o mesmo que {B, A}.
A fórmula para calcular uma combinação é:
Repare que diferente do arranjo, a combinação possui um fator k! no denominador, assim, para um mesmo n e k, o resultado da combinação é menor, pois estaremos dividindo por um número maior.
Vamos resolver um problema como um arranjo e uma combinação.
1ª situação: arranjo
Determinar de quantas formas possíveis podemos formar um subconjunto de 3 elementos tomados de um conjunto de 5, em que a ordem é importante.
Resolução
2ª situação: combinação
Determinar de quantos modos possíveis podemos formar um subconjunto de 3 elementos tomados de um conjunto de 5, não importando a ordem.
Resolução
Não importar a ordem significa que elementos iguais, mesmo em ordenações diferentes, formam o mesmo resultado e devem ser contadas apenas uma vez.
Remover anúncios
Em geral, é a situação-problema que define quando utilizar arranjo ou combinação, por isso, nos exercícios é preciso focar na interpretação e compreender se a ordenação dos elementos produz resultados diferentes.
Ao contar de quantas maneiras podemos formar um pódio com 1º, 2º e 3 lugares, a ordenação é importante e utilizamos arranjo.
Caso estejamos contando de quantos modos podemos montar uma salada de fruta com quatro tipos diferentes entre dez opções de frutas, a ordem no qual as frutas estão no pote de salada não é relevante e utilizamos combinação.
Aprenda mais sobre:
Combinação na matemática: como calcular e exemplos
Análise Combinatória
Análise Combinatória e Probabilidade
Permutação: o que é, fórmulas e exemplos
Princípio fundamental da contagem
Fatorial: como calcular, exemplos e exercícios
Conceito e Cálculo da Probabilidade
Aproveite para praticar
exercícios de análise combinatória
.
Rafael C. Asth
Professor de Matemática licenciado, pós-graduado em Ensino da Matemática e da Física e Estatística. Atua como professor desde 2006 e cria conteúdos educacionais online desde 2021.
Como citar?
ASTH, Rafael
.
Arranjo na matemática: o que é, como calcular, exemplos.
Toda Matéria
,
[s.d.]
.  Disponível em: https://www.todamateria.com.br/arranjo/. Acesso em:
Veja também
Permutação: simples e com repetição
Análise Combinatória
Princípio fundamental da contagem
Combinação na matemática: como calcular e exemplos
Fatorial: como calcular, exemplos e exercícios
Exercícios de Análise Combinatória
Exercícios de permutação (resolvidos e explicados)
Exercícios sobre princípio fundamental da contagem
Leitura Recomendada
Análise Combinatória
Probabilidade
Princípio fundamental da contagem
Fatorial: como calcular, exemplos e exercícios
Permutação: simples e com repetição
Binômio de Newton: fórmula e como calcular (com exemplos)
Tópicos Relacionados
Matemática
Análise Combinatória e Probabilidade
Toda Matéria
Inscreva-se
Remover anúncios
Remover anúncios
Remover anúncios
Bem-vindo ao Toda Matéria
Termos de Uso
e
Política de Privacidade
Nossas Matérias:
Língua Portuguesa
Matemática
História
Inglês
Geografia
Biologia
Química
Física
Filosofia
Literatura
Sociologia
Educação Física
Todas as Matérias
Populares
Últimas Matérias
Nossas Ferramentas:
ENEM
Plano de Estudos
Matérias do ENEM
Corretor de Redação Enem
Exercícios ENEM
Simulados ENEM
Tira Dúvidas IA
Ajudante de Dever de Casa
Exercícios
Gerador Referências Bibliográficas ABNT
Simulador SiSU
Acelere seu aprendizado
Assinar Toda Matéria+
Toda Matéria
: conteúdos escolares.
© 2011 - 2025
- Todos os direitos reservados.
Como Citar
Contato
Política de Privacidade
Sobre
Termos de uso
Anuncie
Conheça a equipe
Professor do Ano 2025
Siga-nos:
RSS Feed