Exercícios de permutação (resolvidos e explicados) - Toda Matéria https://www.todamateria.com.br/exercicios-de-permutacao/ 🚀 Ferramentas de estudo por menos de R$1/dia Quer mais? 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Asth Professor de Matemática e Física Remover anúncios As permutações fazem parte dos problemas de contagem. Utilizamos as permutações para conhecer a quantidade de ordenações dos elementos de um conjunto. Pratique seus conhecimentos sobre permutação e tire suas dúvidas com os exercícios resolvidos. Exercício 1 Dois amigos estavam brincando de lançar dados de seis faces. Sabe-se que saíram os números 4, 1, 2 e 5, não necessariamente nesta ordem. Quantas sequências de resultados poderiam ter acontecido? Ver Resposta Resposta: 24 Algumas ordenações de resultados poderiam ser: 1, 2, 4 e 5 ou 5, 4, 5 e 1 ou 4, 5, 1 e 2 Para determinar o número total de ordenações possíveis, calculamos uma permutação com quatro elementos distintos. Ainda com dúvidas? Pergunta ao Ajudante IA do Toda Matéria Exercício 2 Um grupo de seis amigos foi assistir um filme no cinema e compraram seus ingressos para uma mesma fileira de cadeiras. Considerando haver um casal e que eles se sentaram em cadeiras vizinhas, de quantas formas esses amigos puderam se ajustar na fileira de cadeiras? Remover anúncios Ver Resposta Resposta: 240 Como todos os elementos do conjunto "amigos" são considerados no cálculo, trata-se de um problema de permutação. Para o cálculo do número total possível de permutações, consideramos 5 elementos, pois o casal deve estar sempre junto. Ainda, destas 120 possibilidades, devemos multiplicar por dois, pois o casal pode trocar de lugar entre si. Assim, a quantidade de maneiras possíveis dos amigos se organizarem na fileira de cadeiras é: 120 . 2 = 240 Exercício 3 Uma turma de 7 alunos está brincando no pátio aproveitando a hora do intervalo. Ao ouvir o sinal que informa o retorno para as salas de aula, os alunos se encaminham para formar uma fila. De quantas maneiras distintas os alunos podem formar a sequência da fila? Ver Resposta Resposta: 5040 O número total de modos possíveis para organizar a fila é uma permutação de 7 elementos distintos. Exercício 4 Um fotógrafo está ajustando sua câmera para fotografar 5 crianças dispostas em um banco. Neste grupo há 3 meninas e 2 meninos. Uma possível arrumação das crianças para a foto seria: Considerando as posições nas quais as crianças podem se sentar no banco, de quantas formas o fotógrafo pode organizar os meninos e as meninas, obtendo fotos diferentes? Remover anúncios Ver Resposta Resposta: 10 Este é um caso de permutação com elementos repetidos. Devemos dividir o número total de permutações pelo produto entre as permutações dos elementos que se repetem. Exercício 5 Quantos anagramas podem ser feitos com as letras da palavra PREFEITURA? Ver Resposta Resposta: 907 200 A palavra PREFEITURA possui 10 letras, sendo que algumas se repetem. A letra E aparece duas vezes, assim como o R. Calculamos a divisão entre a permutação de 10 elementos e dividimos pelo produto das permutações de elementos repetidos. Exercício 6 (UEMG 2019) Do conjunto de todas as permutações das letras da palavra PONTA, retira-se uma, ao acaso. Qual é a probabilidade de se retirar uma palavra que começa e termina com vogal? a) 1/20 b) 1/10 c) 1/6 d) 1/5 Validar resposta Gabarito explicado Passo 1 : número de todas as permutações com as letras da palavra PONTA. Como são cinco letras distintas, temos: Passo 2 : número de permutações que começam e terminam com vogal. Para a primeira letra há duas opções de vogais, já para última, só restará 1. Para as consoantes há 3! possibilidades. 2.3!.1 = 2.3.2.1.1 = 12 Passo 3 : determinar a razão de probabilidade. Remover anúncios Exercício 7 (EsPCex 2012) A probabilidade de se obter um número divisível por 2 na escolha ao acaso de uma das permutações dos algarismos 1, 2, 3, 4, 5 é a) 1/5 b) 2/5 c) 3/4 d) 1/4 e) 1/2 Validar resposta Gabarito explicado Passo 1 : permutações totais. Como são cinco elementos distintos, temos que o número de permutações de 5 elementos é igual a 5 fatorial. Passo 2 : permutações de números divisíveis por dois com os cinco algarismos. Para ser divisível por 2 a condição é de que seja par. Assim, há duas opções para o último algarismo, o 2 e o 4. Para as outras posições há 4! possibilidades. Passo 3 : cálculo da probabilidade. Exercício 8 (EsFCEx 2022) Seja P o conjunto de permutações da sequência 1, 3, 6, 9, 12 para as quais o primeiro termo é diferente de 1. Sorteando-se aleatoriamente uma dessas sequências, a probabilidade de que o segundo termo seja 3 é igual a p/q, com p, q ∈ IN* e mdc(p, q) = 1. Sendo assim, q – p é igual a a) 13. b) 15. c) 12. d) 14. e) 11. Validar resposta Gabarito explicado Passo 1 : determinar a quantidade de casos totais possíveis no espaço amostral. Da direita para esquerda, o primeiro número não pode ser um, assim, há 4 possibilidades para ocupar a primeira posição. Para ocupar as outras posições há 4! possibilidades. As permutações ficam: 1.4! = 4.4.3.2.1 = 96 Passo 2 : determinar as possibilidades de ocorrência do evento o segundo ser três, sendo o primeiro diferente de um. As permutações ficam: 3.1.3.2.1 = 18 Passo 3: razão da probabilidade. A razão da probabilidade fica: Sendo p = 18 e q = 96. No entanto, ainda há a condição de que o máximo divisor comum entre p e q seja 1, o que não ocorre com 18 e 96. Devemos simplificar e testar frações equivalentes a 18/96. Passo 4 : simplificação da fração de probabilidade e determinação de p e q. Como o mdc (3, 16) = 1, p = 3 e q = 16. Passo 5 : conclusão. q - p = 16 - 3 = 13 Aprenda mais sobre permutação . Para mais exercícios, veja: Exercícios de análise combinatória Exercícios de Probabilidade (questões resolvidas e explicadas) Índice de exercícios de matemática do 2º ano do Ensino Médio Rafael C. Asth Professor de Matemática licenciado, pós-graduado em Ensino da Matemática e da Física e Estatística. Atua como professor desde 2006 e cria conteúdos educacionais online desde 2021. Como citar? ASTH, Rafael . Exercícios de permutação (resolvidos e explicados). Toda Matéria , [s.d.] . Disponível em: https://www.todamateria.com.br/exercicios-de-permutacao/. Acesso em: Veja também Exercícios de Análise Combinatória Permutação: simples e com repetição Exercícios sobre princípio fundamental da contagem Exercícios de Probabilidade (questões resolvidas e explicadas) Análise Combinatória Fatorial: como calcular, exemplos e exercícios Índice de Exercícios de Matemática do 2º ano do Ensino Médio Princípio fundamental da contagem Leitura Recomendada Exercícios de Porcentagem Exercícios de potenciação com gabarito comentado Exercícios de Probabilidade (questões resolvidas e explicadas) Exercícios sobre equação do 1º grau com uma incógnita Exercícios de Raciocínio Lógico (questões com respostas) Exercícios de Frações Tópicos Relacionados Exercícios Exercícios de Matemática Matemática Geometria Geometria Analítica 2º ano (Ensino Médio) Exercícios 2º ano (Ensino Médio) Toda Matéria Inscreva-se Remover anúncios Bem-vindo ao Toda Matéria Termos de Uso e Política de Privacidade Nossas Matérias: Língua Portuguesa Matemática História Inglês Geografia Biologia Química Física Filosofia Literatura Sociologia Educação Física Todas as Matérias Populares Últimas Matérias Nossas Ferramentas: ENEM Plano de Estudos Matérias do ENEM Corretor de Redação Enem Exercícios ENEM Simulados ENEM Tira Dúvidas IA Ajudante de Dever de Casa Exercícios Gerador Referências Bibliográficas ABNT Simulador SiSU Acelere seu aprendizado Assinar Toda Matéria+ Toda Matéria : conteúdos escolares. © 2011 - 2025 - Todos os direitos reservados. 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