O que são permutações simples e com repetição (exemplos) - Toda Matéria https://www.todamateria.com.br/permutacao/ 🚀 Ferramentas de estudo por menos de R$1/dia Quer mais? Acesso ilimitado por R$ 29,90/mês ASSINAR TM + Busque um tema MENU ENEM 2025 NOVO Página Inicial ENEM Plano de Estudos Matérias do ENEM Corretor de Redação Exercícios ENEM Simulados ENEM Tira Dúvidas Simulador SiSU NOVO Língua Portuguesa Matemática História Inglês Geografia Mais Matérias Biologia Química Física Filosofia Literatura Sociologia Educação Física Todas as Matérias Exercícios ENEM Matemática Português História Biologia Geografia Física Química Todos os Exercícios Ferramentas Ajudante de Dever de Casa Corretor de Redação Exercícios Gerador Referências Bibliográficas ABNT ENEM 2025 NOVO Página Inicial ENEM Plano de Estudos Matérias do ENEM Corretor de Redação Exercícios ENEM Simulados ENEM Tira Dúvidas Simulador SiSU NOVO Nossas Matérias Língua Portuguesa Matemática História Inglês Geografia Biologia Química Física Filosofia Literatura Sociologia Educação Física Todas as Matérias Exercícios ENEM Matemática Português História Biologia Geografia Física Química Todos os Exercícios Ferramentas Ajudante de Dever de Casa Corretor de Redação Exercícios Gerador Referências Bibliográficas ABNT Toda Matéria Matemática › Análise Combinatória e Probabilidade Permutação: simples e com repetição Rafael C. Asth Professor de Matemática e Física Remover anúncios A permutação é uma técnica de contagem utilizada para determinar quantas maneiras existem para ordenar os elementos de um conjunto finito. Fazer uma permuta é realizar uma troca e, nos problemas de combinatória, significa trocar os elementos de lugar, considerando a ordenação desses. Essas técnicas fazem parte de um campo da Matemática chamado, Análise Combinatória, que se destina a conhecer e contar os diferentes modos de organizar conjuntos e seus elementos. A permutação simples e a com elementos repetidos tratam desta categoria de problemas. Permutação simples Uma permutação simples é a ordenação dos elementos de um conjunto finito, quando seus elementos não se repetem , são distintos. É utilizada para determinar a quantidade dessas ordenações. A quantidade de permutações de um conjunto de n elementos é igual a n! (lê-se n fatorial). A fórmula para determinar a quantidade de permutações simples é Considere um conjunto com n elementos. Para organizá-los em uma fila, precisamos escolher o primeiro e, para isso, temos n possibilidades. Para escolher o segundo, temos (n-1) possibilidades, uma menos, pois, já usamos uma opção ao escolher o primeiro. Esse processo continua até que só reste um elemento. Ordens dos elementos e suas possibilidades. Para determinar a quantidade total de permutações, multiplicamos a quantidade de possibilidades existentes na escolha de cada elemento. Dessa forma: A expressão acima é chamada fatorial de n e usamos o símbolo n! . Aprenda mais sobre fatorial . Exemplo Os diferentes modos de organizar as letras de uma palavra são chamados de anagramas. Quantos anagramas existem para a palavra PATO? Remover anúncios Essas são as possibilidades: Ordem dos elementos e suas possibilidades. Assim, como a palavra PATO possui 4 letras, temos que Portanto, há 24 permutações simples para a palavra PATO. Ainda com dúvidas? Pergunta ao Ajudante IA do Toda Matéria Permutação com repetição Uma permutação com elementos repetidos acontece quando em um conjunto de n elementos, alguns destes são iguais. Remover anúncios Na fórmula para determinar o número de permutações com repetição, dividimos o fatorial do número total n de elementos, pelo produto entre os fatoriais dos elementos que se repetem. é o número de permutações de n elementos. são os números de elementos de cada tipo que se repetem. é o fatorial do número total de elementos n. Exemplo Vamos determinar quantas permutações existem para a palavra OVO. Para facilitar vamos colorir as letras. Vejamos os anagramas da palavra OVO. O número de permutações simples com 3 elementos é dada por No entanto, algumas permutações se repetem e não podemos contá-las duas vezes. Para isso devemos dividir o valor de (pois a palavra possui três letras), por (pois a letra O se repete duas vezes). Dessa forma, o número de permutações para as letras da palavra OVO é igual a 3. Vejamos este outro exemplo em que definiremos o número de permutações para as letras da palavra BANANA. Onde: significa permutação com 6 elementos onde as letras A e N se repetem. 3! pois, a letra A se repete três vezes. 2! pois, a letra N se repete duas vezes. Uma dica para facilitar o cálculo é desenvolver o 6! até chegar em 3!, fazendo a simplificação com o denominador. Veja o desenvolvimento. Remover anúncios Sendo assim, o número de permutações para as letras da palavra BANANA é igual a 60. Exercícios de permutação Questão 1 Calcule o valor de . Ver Resposta Questão 2 Considere uma fila de pessoas organizadas por ordem de chegada em que, em um determinado momento, há seis pessoas. De quantas formas diferentes essas pessoas poderiam estar ordenadas do primeiro ao último lugar? Ver Resposta Cada forma de ordenação é uma permutação simples, uma vez que os indivíduos são únicos e não se repetem. Dessa forma, havendo seis pessoas, a resposta é uma permutação com 6 elementos. Questão 3 Considere a palavra GARFO e responda as seguintes questões? a) Quantos são os anagramas da palavra GARFO? Ver Resposta Como as letras não se repetem esse é um caso de permutação simples de 5 elementos. Remover anúncios b) Quantos são os anagramas que começam com a letra A? Ver Resposta Nesse caso, fixamos a letra A no início e calculamos as permutações com as letras GRFO, que são permutações de 4 elementos. 1 possibilidade para a letra A x c) Quantos são os anagramas no caso das vogais estarem sempre uma ao lado da outra? Ver Resposta Uma possibilidade seria G R F A O. Consideramos AO como uma letra e fazemos fatorial de 4. P4 = 4 x 3 x 2 x 1 = 24. Depois multiplicamos por 2 fatorial, pois há AO e OA. P2 = 2 x 1 = 2 Portanto, existem 48 anagramas no caso em que as vogais estão sempre juntas. Pratique mais com exercícios de permutação exercícios sobre anagramas exercícios sobre Análise Combinatória . Talvez se interesse por estes conteúdos sobre Análise Combinatória: Combinação na matemática: como calcular e exemplos Análise Combinatória Arranjo na matemática: o que é, como calcular, exemplos Princípio fundamental da contagem Rafael C. Asth Professor de Matemática licenciado, pós-graduado em Ensino da Matemática e da Física e Estatística. Atua como professor desde 2006 e cria conteúdos educacionais online desde 2021. Como citar? ASTH, Rafael . Permutação: simples e com repetição. Toda Matéria , [s.d.] . Disponível em: https://www.todamateria.com.br/permutacao/. Acesso em: Veja também Análise Combinatória Princípio fundamental da contagem Fatorial: como calcular, exemplos e exercícios Exercícios de permutação (resolvidos e explicados) Arranjo na matemática: o que é, como calcular, exemplos Exercícios de Análise Combinatória Combinação na matemática: como calcular e exemplos Exercícios sobre princípio fundamental da contagem Leitura Recomendada Análise Combinatória Probabilidade Princípio fundamental da contagem Fatorial: como calcular, exemplos e exercícios Binômio de Newton: fórmula e como calcular (com exemplos) Exercícios sobre princípio fundamental da contagem Tópicos Relacionados Matemática Análise Combinatória e Probabilidade Toda Matéria Inscreva-se Remover anúncios Remover anúncios Bem-vindo ao Toda Matéria Termos de Uso e Política de Privacidade Nossas Matérias: Língua Portuguesa Matemática História Inglês Geografia Biologia Química Física Filosofia Literatura Sociologia Educação Física Todas as Matérias Populares Últimas Matérias Nossas Ferramentas: ENEM Plano de Estudos Matérias do ENEM Corretor de Redação Enem Exercícios ENEM Simulados ENEM Tira Dúvidas IA Ajudante de Dever de Casa Exercícios Gerador Referências Bibliográficas ABNT Simulador SiSU Acelere seu aprendizado Assinar Toda Matéria+ Toda Matéria : conteúdos escolares. © 2011 - 2025 - Todos os direitos reservados. Como Citar Contato Política de Privacidade Sobre Termos de uso Anuncie Conheça a equipe Professor do Ano 2025 Siga-nos: RSS Feed