Exercícios de análise combinatória (resolvidos e explicados) - Toda Matéria https://www.todamateria.com.br/exercicios-de-analise-combinatoria/ 🚀 Ferramentas de estudo por menos de R$1/dia Quer mais? 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Asth Professor de Matemática e Física Remover anúncios A análise combinatória apresenta métodos que nos permitem contar de forma indireta o número de agrupamentos que podemos fazer com os elementos de um ou mais conjuntos, levando em conta determinadas condições. Em muitos exercícios desse assunto, podemos utilizar tanto o princípio fundamental da contagem, como também as fórmulas de arranjo, permutação e combinação. Questão 1 Quantas senhas com 4 algarismos diferentes podemos escrever com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,e 9? a) 1 498 senhas b) 2 378 senhas c) 3 024 senhas d) 4 256 senhas Ver Resposta Resposta correta: c) 3 024 senhas. Esse exercício pode ser feito tanto com a fórmula, quanto usando a princípio fundamental da contagem. 1ª maneira : usando o princípio fundamental da contagem. Como o exercício indica que não ocorrerá repetição nos algarismos que irão compor a senha, então teremos a seguinte situação: 9 opções para o algarismo das unidades; 8 opções para o algarismo das dezenas, visto que já utilizamos 1 algarismo na unidade e não pode repetir; 7 opções para o algarismo das centenas, pois já utilizamos 1 algarismo na unidade e outro na dezena; 6 opções para o algarismo do milhar, pois temos que tirar os que já usamos anteriormente. Assim, o número de senhas será dado por: 9.8.7.6 = 3 024 senhas 2ª maneira : usando a fórmula Para identificar qual fórmula usar, devemos perceber que a ordem dos algarismos é importante. Por exemplo 1234 é diferente de 4321, assim iremos usar a fórmula de arranjo. Então, temos 9 elementos para serem agrupados de 4 a 4. Desta maneira, o cálculo será: Ainda com dúvidas? Pergunta ao Ajudante IA do Toda Matéria Questão 2 Um técnico de um time de voleibol possui a sua disposição 15 jogadores que podem jogar em qualquer posição. De quantas maneiras ele poderá escalar seu time de 6 jogadores? a) 4 450 maneiras b) 5 210 maneiras c) 4 500 maneiras d) 5 005 maneiras Ver Resposta Resposta correta: d) 5 005 maneiras. Nesta situação, devemos perceber que a ordem dos jogadores não faz diferença. Assim, usaremos a fórmula de combinação. Como uma equipe de voleibol compete com 6 jogadores, iremos combinar 6 elementos tirados de um conjunto de 15 elementos. Remover anúncios Questão 3 De quantas maneiras diferentes, uma pessoa pode se vestir tendo 6 camisas e 4 calças? a) 10 maneiras b) 24 maneiras c) 32 maneiras d) 40 maneiras Ver Resposta Resposta correta: b) 24 maneiras diferentes. Para solucionar esta questão, devemos utilizar o princípio fundamental da contagem e multiplicar o número de opções entre as escolhas apresentadas. Temos: 6.4 = 24 maneiras diferentes. Portanto, com 6 camisas e 4 calças uma pessoa pode se vestir de 24 maneiras diferentes. Questão 4 De quantas maneiras diferentes 6 amigos podem sentar em um banco para tirar uma foto? a) 610 maneiras b) 800 maneiras c) 720 maneiras d) 580 maneiras Ver Resposta Resposta correta: c) 720 maneiras. Podemos usar a fórmula de permutação, pois todos os elementos farão parte da foto. Note que a ordem que faz diferença. Como o número de elementos é igual ao número de ajuntamentos, então existem 720 maneiras de 6 amigos sentarem para tirar uma foto. Questão 5 Em uma competição de xadrez existem 8 jogadores. De quantas formas diferentes poderá ser formado o pódio (primeiro, segundo e terceiro lugares)? a) 336 formas b) 222 formas c) 320 formas d) 380 formas Ver Resposta Resposta correta: a) 336 formas diferentes. Como a ordem faz diferença, usaremos arranjo. Assim: Substituindo os dados do enunciado na fórmula, temos: Portanto, é possível formar o pódio de 336 formas diferentes. Questão 6 Uma lanchonete tem uma promoção de combo com preço reduzido em que o cliente pode escolher 4 tipos diferentes de sanduíches, 3 tipos de bebida e 2 tipos de sobremesa. Quantos combos diferentes os clientes podem montar? a) 30 combos b) 22 combos c) 34 combos d) 24 combos Ver Resposta Resposta correta: d) 24 combos diferentes. Usando o princípio fundamental da contagem, multiplicamos o número de opções entre as escolhas apresentadas. Assim: 4.3.2 = 24 combos diferentes Portanto, os clientes podem montar 24 combos diferentes. Remover anúncios Questão 7 Quantas comissões de 4 elementos podemos formar com 20 alunos de uma turma? a) 4 845 comissões b) 2 345 comissões c) 3 485 comissões d) 4 325 comissões Ver Resposta Resposta correta: a) 4 845 comissões. Note que como para uma comissão a ordem não faz diferença, usaremos a fórmula de combinação para calcular: Questão 8 Determine o número de anagramas: a) Existentes na palavra FUNÇÃO. Ver Resposta Resposta correta: 720 anagramas. Cada anagrama consiste na reorganização das letras que compõem uma palavra. No caso da palavra FUNÇÃO temos 6 letras que podem ter suas posições modificadas. Para encontrar o número de anagramas basta calcular: b) Existentes na palavra FUNÇÃO que iniciam com F e terminam com O. Ver Resposta Resposta correta: 24 anagramas. F — — — — O Deixando fixas as letras F e O na palavra função, estando no início e final, respectivamente, podemos permutar as 4 letras não fixas e, portanto, calcular P 4 : Sendo assim, existem 24 anagramas da palavra FUNÇÃO iniciados com F e terminados em O. c) Existentes na palavra FUNÇÃO desde que as vogais A e O apareçam juntas nessa ordem (ÃO). Ver Resposta Resposta correta: 120 anagramas. Se as letras A e O devem aparecer juntas como ÃO, então podemos interpretá-las como se fosse uma só letra: FUNÇ ÃO; assim, temos que calcular P 5 : Desta forma, existem 120 possibilidade de escrever a palavra com ÃO. Questão 9 A família de Carlos é formada por 5 pessoas: ele, sua esposa Ana e mais 3 filhos, que são Carla, Vanessa e Tiago. Eles desejam tirar uma foto da família para enviar como presente ao avô materno das crianças. Determine o número de possibilidades de os membros da família poderem se organizar para tirar a foto e de quantas formas possíveis Carlos e Ana podem ficar lado a lado. Ver Resposta Resposta correta: 120 possibilidades de foto e 48 possibilidades de Carlos e Ana estarem lado a lado. Primeira parte : número de possibilidades dos membros da família se organizarem para tirar a foto Cada forma de dispor as 5 pessoas lado a lado corresponde a uma permutação dessas 5 pessoas, uma vez que a sequência é formada por todos os membros da família. O número de posições possíveis é: Portanto, há 120 possibilidades de foto com os 5 membros da família. Segunda parte : formas possíveis de Carlos e Ana ficarem lado a lado Para que Carlos e Ana apareçam juntos (lado a lado), podemos considerá-los como uma única pessoa que irá permutar com as outras três, num total de 24 possibilidades. Porém, para cada uma dessas 24 possibilidades, Carlos e Ana podem trocar de lugar entre si, de 2 maneiras distintas. Assim, o cálculo para encontrar o resultado é: . Sendo assim, existem 48 possibilidades de Carlos e Ana tirarem a foto lado a lado. Remover anúncios Questão 10 Uma equipe de trabalho é formada por 6 mulheres e 5 homens. Eles pretendem se organizar em grupo de 6 pessoas, com 4 mulheres e 2 homens, para compor uma comissão. Quantas comissões podem ser formadas? a) 100 comissões b) 250 comissões c) 200 comissões d) 150 comissões Ver Resposta Resposta correta: d) 150 comissões. Para formar a comissão deve-se escolher 4 das 6 mulheres ( ) e 2 dos 5 homens ( ). Pelo princípio fundamental da contagem multiplicamos estes números: Assim, podem ser formadas 150 comissões com 6 pessoas e com, exatamente, 4 mulheres e 2 homens. Questão 11 (Enem/2016) O tênis é um esporte em que a estratégia de jogo a ser adotada depende, entre outros fatores, de o adversário ser canhoto ou destro. Um clube tem um grupo de 10 tenistas, sendo que 4 são canhotos e 6 são destros. O técnico do clube deseja realizar uma partida de exibição entre dois desses jogadores, porém, não poderão ser ambos canhotos. Qual o número de possibilidades de escolha dos tenistas para a partida de exibição? a) b) c) d) e) Validar resposta Gabarito explicado Segundo o enunciado, temos os seguintes dados necessários para resolver a questão: Existem 10 tenistas; Dos 10 tenistas, 4 são canhotos; Deseja-se realizar uma partida com 2 tenistas que não podem ser ambos canhotos; Podemos montar as combinações assim: Dos 10 tenistas, 2 deverão ser escolhidos. Portanto: Deste resultado devemos levar em consideração que dos 4 tenistas canhotos, 2 não poderão ser escolhidos simultaneamente para partida. Sendo assim, subtraindo do total de combinações as possíveis combinações com 2 canhotos, temos que o número de possibilidades de escolha dos tenistas para a partida de exibição é: Questão 12 (Enem/2016) Para cadastrar-se em um site, uma pessoa precisa escolher uma senha composta por quatro caracteres, sendo dois algarismos e duas letras (maiúsculas ou minúsculas). As letras e os algarismos podem estar em qualquer posição. Essa pessoa sabe que o alfabeto é composto por vinte e seis letras e que uma letra maiúscula difere da minúscula em uma senha. O número total de senhas possíveis para o cadastramento nesse site é dado por a) b) c) d) e) Validar resposta Gabarito explicado Conforme o enunciado, temos os seguintes dados necessários para resolver a questão: A senha é composta por 4 caracteres; A senha deve conter 2 algarismos e 2 letras (maiúsculas ou minúsculas); Pode-se escolher 2 algarismos entre 10 algarismos (de 0 a 9); Pode-se escolher 2 letras entre as 26 letras do alfabeto; Uma letra maiúscula difere de uma letra minúscula. Portanto, há 26 possibilidades de letras maiúsculas e 26 possibilidades de letras minúsculas, totalizando 52 possibilidades; As letras e os algarismos podem estar em qualquer posição; Não há restrição quanto à repetição de letras e algarismos. Uma maneira de interpretar as sentenças anteriores seria: Posição 1: 10 opções de algarismos Posição 2: 10 opções de algarismos Posição 3: 52 opções de letras Posição 4: 52 opções de letras Além disso, precisamos considerar que letras e algarismos podem estar em qualquer uma das 4 posições e pode haver repetição, ou seja, escolher 2 algarismos iguais e duas letras iguais. Portanto, Questão 13 Conteúdo exclusivo para assinantes Toda Matéria+ Além de mais exercícios, tenha acesso a mais recursos para dar um up nos seus estudos. Corretor de Redação para o Enem Exercícios exclusivos Estude sem publicidade Assinar Toda Matéria+ Já é Toda Matéria+? Faça seu login Continue estudando com Análise Combinatória e Princípio fundamental da contagem . Para praticar mais: Exercícios de permutação resolvidos e explicados Exercícios de probabilidade Exercícios sobre princípio fundamental da contagem Revisão por Rafael C. Asth Professor de Matemática licenciado, pós-graduado em Ensino da Matemática e da Física e Estatística. Atua como professor desde 2006 e cria conteúdos educacionais online desde 2021. Como citar? Exercícios de Análise Combinatória. Toda Matéria , [s.d.] . Disponível em: https://www.todamateria.com.br/exercicios-de-analise-combinatoria/. Acesso em: Veja também Análise Combinatória Exercícios de Probabilidade (questões resolvidas e explicadas) Exercícios sobre princípio fundamental da contagem Exercícios de permutação (resolvidos e explicados) Princípio fundamental da contagem Exercícios de probabilidade resolvidos (fáceis) Combinação na matemática: como calcular e exemplos Arranjo na matemática: o que é, como calcular, exemplos Leitura Recomendada Exercícios de Porcentagem Exercícios de potenciação com gabarito comentado Exercícios de Probabilidade (questões resolvidas e explicadas) Exercícios sobre equação do 1º grau com uma incógnita Exercícios de Raciocínio Lógico (questões com respostas) Exercícios de Frações Tópicos Relacionados Matemática Exercícios Exercícios de Matemática Análise Combinatória e Probabilidade 2º ano (Ensino Médio) Exercícios 2º ano (Ensino Médio) Toda Matéria Inscreva-se Remover anúncios Remover anúncios Remover anúncios Remover anúncios Bem-vindo ao Toda Matéria Termos de Uso e Política de Privacidade Nossas Matérias: Língua Portuguesa Matemática História Inglês Geografia Biologia Química Física Filosofia Literatura Sociologia Educação Física Todas as Matérias Populares Últimas Matérias Nossas Ferramentas: ENEM Plano de Estudos Matérias do ENEM Corretor de Redação Enem Exercícios ENEM Simulados ENEM Tira Dúvidas IA Ajudante de Dever de Casa Exercícios Gerador Referências Bibliográficas ABNT Simulador SiSU Acelere seu aprendizado Assinar Toda Matéria+ Toda Matéria : conteúdos escolares. © 2011 - 2025 - Todos os direitos reservados. 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